www.biomedcentral.com

<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mtable columnalign="left"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>d</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>d</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>⇔</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>−</mml:mo>
<mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi>
<mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>θ</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi>d</mml:mi>
<mml:mi>θ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi>
<mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>θ</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi>d</mml:mi>
<mml:mi>θ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
<mml:mo>⇔</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi>
<mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>θ</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi>d</mml:mi>
<mml:mi>θ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>⇔</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi>
<mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>θ</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi>d</mml:mi>
<mml:mi>θ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>⇔</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi>
<mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>θ</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi>
<mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi>π</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>θ</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi>d</mml:mi>
<mml:mi>θ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
<mml:mo>−</mml:mo>
<mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>⇔</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>θ</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi>
<mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi>π</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>θ</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi>d</mml:mi>
<mml:mi>θ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
<mml:mo>−</mml:mo>
<mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>⇔</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>θ</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi>
<mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mi>h</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
<mml:mo>−</mml:mo>
<mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo/>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:semantics>
</mml:math>